ECUACIONES DIFERENCIALES

Temas

Subtemas a desarrollar

1.       ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1    Preliminares: Orden, clasificación y solución de las ecuaciones diferenciales.

1.2    Ejemplos de sistemas reales modelados por medio de ecuaciones diferenciales: variables independientes y parámetros.

1.3    Existencia y unicidad de las soluciones: El problema de Cauchy. Teoremas de Picard y de Peano. Soluciones maximales e intervalos maximales de existencia de estas soluciones.

1.4    Clasificación de las ecuaciones diferenciales para su resolución: separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas, deducción de un factor integrante, ecuaciones lineales, Ecuación de Bernoulli, Ecuación de Clairaut, Ecuación de Riccati.

1.5    Técnica cualitativa: campo de pendientes.

1.6    Técnica numérica: Método de Euler.

1.7    Teorema de existencia y unicidad de las soluciones.

1.8    Ecuaciones autónomas y soluciones de equilibrio. Línea de fase.

1.9    Problemas de aplicación de las ecuaciones de primer orden. ODE1

2.  ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Y SISTEMAS DE ECUACIONES.

2.1    Conceptos básicos. Solución de Ecuaciones lineales homogéneas. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Casos relacionados con la factorización de la ecuación característica. La exponencial de una matriz: Valores propios reales diferentes, valores propios reales repetidos, valores propios complejos, el plano traza.

2.2     Método de coeficientes indeterminados. Método de variación de parámetros.

2.3   Aplicaciones en la Física de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden: Leyes de Newton y el péndulo, Pulsaciones y resonancia en sistemas amortiguados. Oscilaciones forzadas en sistemas amortiguados. Circuitos Eléctricos. Leyes de Kirchhoff.

2.4  Ecuación lineal de orden superior vista como un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

2.5  Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden.

Teorema de existencia y unicidad de las soluciones.

Soluciones de equilibrio y soluciones periódicas.

Introducción al plano fase.

2.6  Aplicación de software matemático para las soluciones de los correspondientes modelos matemáticos y verificación de geométrica de las respuestas obtenidas.

2.7  Solución particular para los sistemas no homogéneos: coeficientes indeterminados y variación de parámetros.

Método de Euler para sistemas autónomos.

3.  SERIES DE POTENCIAS

3.1    Solución de Ecuaciones Diferenciales mediante series. Introducción. La aproximación polinomial de Taylor.

3.2    Series de potencias y funciones analíticas.

3.3    Derivación e integración de series de potencias.

3.4    Series de Potencias y funciones analíticas.

3.5    Solución en torno a puntos ordinarios.

3.6    Solución en torno a puntos singulares.

3.7    Ecuación de Bessel

3.8    Ecuación de Legendre.

4. TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1  Propiedades, Teoremas de Translación, Convolución, Transformada de una derivada, Transformada de una integral. Transformada de una función periódica.

4.2  Transformada inversa de Laplace.

4.3  Aplicaciones en la resolución de ecuaciones integrodiferenciales.